Как будет "Изучать" на английском языке?

Правильный ответ —  Explore [ɪkˈsplɔːr] 

К примеру:

— to explore a problem of ants extinction from human shoes

— изучать проблему вымирания муравьев от человеческих ботинок

А вот значения других слов:

— Exist [ɪɡˈzɪst] — существовать;

— Expect [ɪkˈspekt] — ожидать;